Kalkulator reguły trzech sigm

Kalkulator reguły trzech sigm (lub inaczej kalkulator reguły 68-95-99,7) jest narzędziem służącym do znajdowania przedziałów, które są oddalone o jedno, dwa i trzy odchylenia standardowe od średniej, w których znajdziesz odpowiednio 68, 95 i 99,7% danych o rozkładzie normalnym. W poniższym tekście znajdziesz definicję reguły trzech sigm, wzór na regułę trzech sigm oraz przykład zastosowania reguły trzech sigm.

Jeśli interesujesz się statystyką, możesz poczytać o powiązanych pojęciach w naszym kalkulatorze standaryzacji Z 🇺🇸 (tzw. Z-score) lub kalkulatorze estymacji punktowej 🇺🇸.

Reguła trzech sigm (zwana również regułą empiryczną lub regułą 68-95-99,7) jest regułą statystyczną, która mówi, że dla danych o rozkładzie normalnym, prawie wszystkie punkty będą mieścić się w granicy trzech odchyleń standardowych po obu stronach średniej.

Dokładniej rzecz ujmując:

• 68% danych jest w zakresie jednego odchylenia standardowego;
• 95% danych jest w zakresie dwóch odchyleń standardowych; oraz
• 99,7% danych jest w zakresie trzech odchyleń standardowych.

Wyjaśnijmy pojęcia użyte w tej definicji:

Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu; mówi, jak bardzo dane różnią się od średniej, czyli jak bardzo zróżnicowany jest zbiór danych. Im mniejsza wartość, tym węższy jest zakres danych. Nasz kalkulator odchylenia standardowego 🇺🇸 rozszerza ten opis.

Rozkład normalny to rozkład, który jest symetryczny względem średniej, przy czym dane w pobliżu średniej występują częściej niż dane odległe od średniej. W formie graficznej rozkłady normalne mają kształt krzywej dzwonowej, jak widać poniżej:

Odwiedzając stronę kalkulatora rozkładu normalnego 🇺🇸, możesz oczywiście dowiedzieć się więcej na ten temat.

Poniższy algorytm wyjaśnia, jak stosować regułę trzech sigm:

1. Oblicz średnią ze swoich wartości:

Gdzie:

• $\sum$ — suma;
• $x_i$ — kolejna wartość ze zbioru twoich danych; oraz
• $n$ — liczba próbek.

Możesz również ułatwić sobie życie, używając po prostu kalkulatora średniej 🇺🇸.

2. Oblicz odchylenie standardowe:

3. Zastosuj wzór reguły trzech sigm:

• 68% danych mieści się w zakresie jednego odchylenia standardowego od średniej — czyli między $\mu - \sigma$ a $\mu + \sigma$.

• 95% danych mieści się w zakresie dwóch odchyleń standardowych od średniej — czyli pomiędzy $\mu - 2 \sigma$ a $\mu + 2 \sigma$.

• 99,7% danych mieści się w zakresie trzech odchyleń standardowych od średniej — pomiędzy $\mu - 3 \sigma$ a $\mu + 3 \sigma$.

Wprowadź średnią i odchylenie standardowe do kalkulatora reguły trzech sigm, a wyliczy on dla ciebie powyższe przedziały.

Iloraz inteligencji (IQ) dany jest rozkładem normalnym ze średnią 100 i odchyleniem standardowym równym 15. Przyjrzyjmy się matematyce kryjącej się za kalkulatorem reguły 68-95-99,7:

1. Średnia: $\mu = 100$

2. Odchylenie standardowe: $\sigma = 15$

3. Wzór na regułę trzech sigm:

$\mu - \sigma = 100 - 15 = 85$
$\mu + \sigma =100 + 15 = 115$.

68% ludzi ma IQ pomiędzy 85 a 115.

$\mu - 2 \sigma = 100 - 2 \cdot 15 = 70$
$\mu + 2 \sigma = 100 + 2 \cdot 15 = 130$

95% ludzi ma IQ pomiędzy 70 a 130.

$\mu - 3 \sigma = 100 - 3 \cdot 15 = 55$
$\mu + 3 \sigma = 100 + 3 \cdot 15 = 145$

99,7% ludzi ma IQ pomiędzy 55 a 145.

Wprowadź średnią i odchylenie standardowe do naszego kalkulatora reguły trzech sigm i zobacz, jak sprawnie uzyskasz interesujący cię wynik.

Reguła ta jest szeroko stosowana w badaniach empirycznych, np. przy obliczaniu prawdopodobieństwa wystąpienia pewnej wartości doświadczalnej lub przy prognozowaniu wyników, gdy brakuje niektórych danych. Daje ona wgląd w charakterystykę populacji bez konieczności testowania wszystkich osób i pomaga określić, czy określony zbiór danych ma rozkład normalny. Stosuje się ją również w celu znalezienia wartości odstających, które mogą być wynikiem błędów eksperymentalnych.

Aby obliczyć regułę trzech sigm:

1. Wyznacz średnią m i odchylenie standardowe s swoich danych.
2. Dodaj i odejmij odchylenie standardowe do/od średniej: [m - s, m + s] to przedział, który zawiera około 68% danych.
3. Pomnóż odchylenie standardowe przez 2: przedział [m - 2s, m + 2s] zawiera około 95% danych.
4. Pomnóż odchylenie standardowe przez 3. 99,7% danych mieści się w [m - 3s, m + 3s].

Wariancja 1 oznacza, że odchylenie standardowe również jest równe 1. Reguły empiryczne mówią, że:

• 68% twoich danych znajduje się co najwyżej w odległości 1 odchylenia standardowego od średniej;
• 95% znajduje się co najwyżej w odległości 2 odchyleń standardowych od średniej; oraz
• 99,7% znajduje się co najwyżej w odległości 3 odchyleń standardowych od średniej.